Niech moc (bierna) będzie z tobą! – cz.2

W poprzednim odcinku omówiłem moc w obwodach prądu stałego i moc czynną w obwodach prądu zmiennego. Dotarliśmy tym samym do punktu, w którym pozostał do omówienia temat mocy biernej i mocy pozornej. Nie są to kwestie trywialne, ale z drugiej strony, nie jest to technologia kosmiczna.

Niby dobrze by było gdybyś posiadał wiedzę nt. funkcji trygonometrycznych przed przeczytaniem tego artykułu, ale kto by zwracał uwagę na takie szczegóły? 🙂
Chciałbym przedstawić ideę mocy bardziej w kwestii czucia tematu, niż w formie matematycznych niuansów, ale o tych ostatnich nie zapominam i dla dociekliwych kilka ładnych wzorków się znajdzie.

Najpierw przykład

Dla przykładu weźmy na warsztat wiertarkę i zerknijmy na jej tabliczkę znamionową.

Odczytujemy to, co nas interesuje w kwestii mocy:

• Napięcie znamionowe: 230V AC
• Prąd znamionowy: 3.6A
• Moc czynna: 780W

Czyli mamy informację wprost, że wiertarka ma 780 Wat mocy, dzięki której wiertło będzie się obracało z prędkością 1100 obr/min, a młot udarowy będzie uderzał z częstotliwością 4500uderzeń/min i bliżej nieokreśloną na tabliczce siłą.
Gdybyśmy znowu zastosowali wzór na moc z obwodów prądu stałego otrzymalibyśmy:

$\rm{{P}={U}\cdot{I}={230V}\cdot{3.6A} = {828W} ??}$

Różnica pomiędzy wyliczoną „mocą”, a mocą czynną podaną przez producenta wynosi 48W.
Gdzie podziała się ta moc? Gdzie znajduje się błąd?

Warto sobie w tym miejscu przypomnieć z poprzedniego artykułu, że ww. wzór na moc, w obwodach prądu zmiennego funkcjonuje pod nazwą mocy pozornej (S) i jej wartość nie podaje się w Watach tylko w VoltAmperach, a więc mamy:

• Moc czynną: P = 780W
• Moc pozorną: S = 828VA
• Moc bierną: Q = ?

W tym miejscu moc bierną możemy wyliczyć z tzw. trójkąta mocy, ale… zacznijmy od początku.

Gdy moc czynna traci… moc

W poprzednim wpisie opowiadałem jak to fajnie liczy się moc urządzeń, które posiadają jedynie opór rezystancyjny.  Jednak większość elementów posiada jeszcze co najmniej jeden z dwóch rodzajów oporów elektrycznych:

• opór indukcyjny
• opór pojemnościowy

Obydwa opory określa się mianem reaktancji (opór bierny) i pojawiają się one, gdy urządzenie posiada w sobie cewki lub kondensatory. Cewki znajdują w wielu urządzeniach, które posiadają wszelkiego rodzaju elementy obrotowe, silniki np. wiertarki, miksery, odkurzacze. Kondensatory natomiast często pojawiają  się np. w zasilaczach i urządzeniach elektronicznych

W jaki sposób zmieniają one rzeczywistość jeśli chodzi o moc?
Otóż cewka sprawia, że zmiany prądu płynącego w obwodzie nie nadążają za zmianami napięcia.
Kondensator natomiast wykonuje coś zupełnie odwrotnego: zmiany prądu „wyprzedzają” zmianę napięcia.
Artykuł ten nie dotyczy funkcjonowania tych elementów, dlatego nie będę tutaj tłumaczył jak dokładnie działają kondensatory i cewki (jeśli nie wiesz, zerknij na początek tu i tu).

Żeby nie mieszać, wytłumaczę moc bierną wyłącznie w oparciu o opór indukcyjny. Zacznijmy od urządzenia posiadającego cewki (możesz sobie wyobrazić dowolny silnik), które sumarycznie powodują nieznaczne opóźnienia w zmianach natężenia prądu.
Wszystkie przebiegi w tym artykule wrysowane są dla urządzenia zasilonego prądem przemiennym o napięciu skutecznym 230V i prądzie skutecznym wynoszącym w zaokrągleniu 28A. Te wartości będą niezmienne, natomiast zmianie ulegać będzie współczynnik mocy.

Na pierwszy rzut oka widzimy, że coś się „zepsuło”. Nagle natężenie prądu nie odpowiada bezpośrednio napięciu. Widać w tym pewną regularność, tak jakby wszystko uległo pewnemu przesunięciu. Zaznaczyłem to przesunięcie porównując kiedy wystąpiła wartość maksimum napięcia (Umax) i wartość maksimum prądu (Imax).

Odległość ta określana jest mianem kąta przesunięcia fazowego i oznaczona jest symbolem φ.
No! Teraz możemy wyjaśnić sobie czym są tajemnicze współczynniki mocy:

• Wsp. mocy to cosinus kąta φ czyli cos(φ)
• Wsp. mocy biernej to sinus kąta φ czyli sin(φ)

Znajomość tych funkcji (trygonometrycznych) byłaby przydatna do zrozumienia o co w tym wszystkim chodzi. Ale jeśli ta szkolna wiedza wyparowała Ci z głowy to nic straconego. Istotne w tej chwili jest to, że:

• Zarówno funkcja cosinus jak i sinus może mieć wartość w zakresie od 0 do 1.
• Funkcje cosinus i sinus są od siebie uzależnione w taki sposób, że im większa jest wartość cosinus tym mniejsza jest wartość sinus (i na odwrót).

Wracając do powyższego wykresu, pytanie. Co by się stało jeśli teraz wykonalibyśmy iloczyn chwilowych wartości napięcia i prądu?

Ten iloczyn to jednocześnie przebieg mocy pozornej (S). Po raz pierwszy w historii tego artykułu pojawiła się moc ujemna. Oznacza to jedynie tyle, że część pobranej energii nie jest trwoniona na pracę urządzenia tylko jest zwracana do źródła. Jaka to część?
No i tutaj pojawia się pole do popisu dla definicji mocy czynnej i biernej. Mądre głowy wymyśliły, że zamiast jednego wykresu, należy to przedstawić za pomocą dwóch:

• Wykresu istotnej dla nas mocy czynnej (rzeczywista moc urządzenia).
• Wykresu mocy biernej, która informuje ile energii jest pobranej ze źródła, a następnie w całości do niego zwróconej.

I to jest właśnie kwintesencja podziału na moc czynną i moc bierną.
Moc czynna – wieczna optymistka – zawsze dodatnia określa ile energii użytecznej pobierze urządzenie i przetworzy ją na ciepło, moment obrotowy, światło itp. Za to płacimy.
Moc bierna czyli huśtawka nastrojów – w jednej chwili jest dodatnia czyli urządzenie pobiera energię ze źródła, by w następnej zmienić znak i tą samą energię zwrócić (czyli tak jakbyśmy zasilali transformator zasilający).
Po co ona jest? Jak wspomniałem wcześniej, wykorzystanie cewek jest nieodzowne dla działania większości silników elektrycznych. Wytwarzają one pole magnetyczne niezbędne do wprowadzenia w ruch obrotowy silnika. Posiadają jednak taką właściwość, że opóźniają zmiany prądu w stosunku do zmian napięcia.
Gdyby układ urządzenia składał się tylko z jednej cewki, bez żadnych oporów rezystancyjnych, to kąt przesunięcia fazowego wynosiłby 90°, co wyglądałoby tak:

Jeśli w tej chwili wykonamy iloczyn napięcia i prądu (moc pozorna), otrzymamy taki oto wykres.

Widzimy, że wykres mocy pozornej to czysta sinusoida czyli zabieramy i oddajemy tyle samo energii, co przekłada się również na wykres mocy czynnej i biernej.

Potwierdzenie tego stanu rzeczy znajdujemy w zaprezentowanych wcześniej wzorach na moc skuteczną.

$\rm{{P}={U}\cdot{I}\cdot{cos(φ)} = {230V}\cdot{28A}\cdot{cos(90°)} = {230V}\cdot{28A}\cdot{0.00} = {0W}}$
[Moc Czynna] = [Napięcie] * [Prąd] * [WspMocy]

$\rm{{Q}={U}\cdot{I}\cdot{sin(φ)} = {230V}\cdot{28A}\cdot{sin(90°)} = {230V}\cdot{28A}\cdot{1} = {6440Var}}$
[Moc Bierna] = [Napięcie] * [Prąd] * [WspMocyBiernej]

$\rm{{S}={U}\cdot{I} = {230V}\cdot{28A} = {6440VA}}$
[Moc Pozorna] = [Napięcie] * [Prąd]

W takim wypadku moc bierna jest równa mocy pozornej.

W normalnych domowych warunkach taki przypadek nie ma sensu istnienia. Układ nie posiadałby mocy czynnej czyli w ostatecznym rozrachunku takie „urządzenie” nie wykonywałoby żadnej pracy. Jedynie wytwarzałoby pole magnetyczne.

Co z tą wiertarką?

Żeby wiertarka wprawiła w ruch wiertło, potrzebuje zarówno mocy biernej jak i czynnej. Biernej, do wytworzenia pola magnetycznego wymaganego do wykonania obrotu i czynnej, żeby urządzenie miało „siłę” do pokonania oporów mechanicznych, które powstają na styku wiertła z betonową ścianą czy innym materiałem w którym akurat chcemy wiercić.

Wróćmy zatem do do naszej tabliczki znamionowej silnika wiertarki.

Mamy tutaj:

• Moc czynną: P = 780W
• Moc pozorną: S = 828VA
• Moc bierną: Q = 278Var (wartość wyznaczona na podstawie trójkąta mocy o którym piszę więcej – dla zainteresowanych – w rozdziale „Trochę więcej matematyki”)

Mając te wartości, nawet nie wiedząc jaki jest kąt przesunięcia fazowego, możemy wyliczyć:

• Współczynnik mocy: $\rm{{cos(φ)}=\frac{P}{S}=\frac{780W}{828VA}=0.94}$
• Współczynnik mocy biernej: $\rm{{sin(φ)}=\frac{Q}{S}=\frac{278Var}{828VA}=0.34}$

Czyli aby poznać:

• Współczynnik mocy potrzebujemy znać wartość mocy czynnej i pozornej.
• Współczynnik mocy biernej potrzebujemy znać wartość mocy biernej i pozornej.

Konsekwencje „używania” mocy biernej

Dowiedzieliśmy się, że moc bierna nie jest zamieniana na pracę i nie ponosimy z jej tytułu opłat. Wynika to z faktu, że moc bierna pobrana ze źródła jest w całości do niego zwracana. Jest to prawda w obrębie urządzenia, ale gdy popatrzymy na sprawę z szerszej perspektywy, pojawiają się pewne straty.

Wytworzony przez zakład energetyczny prąd musi pokonać drogę od elektrowni do urządzenia. Żaden przewód nie jest idealny, posiada pewien opór. Prąd pokonując tę trasę, w zdecydowanej większości dociera do użytkownika, natomiast mała część „traci się” i zamienia na ciepło rozgrzewając przewody. Załóżmy też, że mamy dużo urządzeń które posiadają dość mały współczynnik mocy, co w wyniku generuje dużą moc bierną. Część płynącego prądu stanowiącego składnik mocy biernej również „odkłada się” na przewodach w postaci ciepła. Moc bierna nie została zamieniona w urządzeniu na pracę, teoretycznie urządzenie zwróciło całą pobraną energię wynikającą z mocy biernej, a jednak część z dostarczonej energii ulotniła się. Kto za to powinien zapłacić?

Oczywiście klient. Jeśli pobieramy zbyt dużo mocy biernej, zakład energetyczny może nam doliczyć koszty za straty energii podczas jej przesyłu. Ale spoko, opisany poniżej problem nie dotyczy domostw. W domowych urządzeniach współczynnik mocy na ogół nie spada poniżej 0.9, a poza tym ilość i moc tych urządzeń jest stosunkowo niewielka.
Problem natomiast może już dotyczyć małych zakładów przemysłowych (i większych oczywiście też). Jeżeli rachunki za straty mocy stają się zbyt duże, zakład produkcyjny może zainwestować w układ do tzw. kompensacji mocy biernej. Dzięki niemu wytworzona w zakładzie moc bierna zostaje zniwelowana na linii klient <-> zakład energetyczny. W jaki sposób to się dzieje to już temat na inny artykuł 🙂 .

Porównanie mocy czynnej i biernej do zjawisk fizycznych

W sieci można znaleźć wiele analogii do mocy czynnej, biernej i pozornej. Każda ma swoje racje i każda ma jakieś wady. Przedstawię tu jedną z bardziej popularnych i opiszę co tłumaczy, a czego w niej nie znajdziemy.
W imię nauki poświęciłem się i nalałem sobie kufel piwa.

Analogia jest następująca:

• Piwo w postaci płynnej to moc czynna, tylko dzięki niej możemy wykonać pracę tj. ugasić pragnienie.
• Piwo w postaci pianki to moc bierna, nie stanowi ona realnej wartości i opóźnia ona wykonanie właściwej pracy (analogia do wytworzenia pola magnetycznego). Najpierw musimy przebrnąć przez piankę, żeby do gardła wpadł właściwy trunek.
• Moc pozorna to suma ww. mocy. Sama w sobie nie mówi nam zbyt wiele w odniesieniu do gaszenia pragnienia. W końcu pianka może wypełniać cały kufel i co z tego że moc pozorna jest duża?
  Obrazuje ona jednak coś więcej, ponieważ kufel to odpowiednik ilości prądu jaki może płynąć przez przewód. Jeśli suma mocy czynnej i biernej jest zbyt duża, to zaczynają się pojawiać straty.

Powyższe porównanie nie powie nam jednak, że:

• Moc pozorna to nie jest prosta suma mocy czynnej i mocy biernej (patrz następny rozdział).
• Moc bierna jest niezbędna dla funkcjonowania np. silników. Bez pianki się obejdziemy, bez mocy biernej nie.
• Jak wiemy, moc bierna powoduje, że część energii wraca do źródła zasilania. W przypadku pianki, takiego stanu rzeczy (najczęściej) nie mamy.

Trochę więcej matematyki

Rozdział ten przeznaczony jest dla osób szukających matematycznego potwierdzenia zależności, które skrótowo potraktowałem wcześniej. Głównie mam tu na myśli, słynny już, trójkąt mocy.

A więc czymże ten trójkąt jest? Zacznijmy od rysunku.

Trójkąt mocy przedstawia uzależnienie poszczególnych mocy od siebie.

Pierwsza sprawa to współczynnik mocy, który jest wynikiem dzielenia mocy czynnej (P) i mocy pozornej (S).
Jeżeli moc czynna jest prawie tak samo duża jak moc pozorna, to współczynnik ten jest duży (bliski liczby 1). Oznacza to również, że kąt przesunięcia fazowego jest mały.
Jeżeli moc bierna jest prawie tak samo duża jak moc pozorna to współczynnik mocy jest mały (mała wartość mocy czynnej (P), i duża wartość mocy pozornej (S) czyli iloraz bliski 0). Oznacza to również, że kąt przesunięcia fazowego jest duży.

Druga sprawa jest taka, że każdy rodzaj mocy jest wypadkową dwóch pozostałych przykładowo, posiadając wyznaczoną moc pozorną (S) i moc czynną (P) możemy wyliczyć wielkość mocy biernej (Q). Poniższe wzory to nic innego jak twierdzenie Pitagorasa, z którym na pewno spotkałeś się w swojej karierze szkolnej. W ramach potwierdzenia, do wzorów podstawię wartości spisane z tabliczki znamionowej wiertarki.

Moc Bierna
$\rm{{Q}=\sqrt{{S}^2 – {P}^2}=\sqrt{{828VA}^2 – {780W}^2}=278Var}$

Moc czynna
$\rm{{P}=\sqrt{{S}^2 – {Q}^2}=\sqrt{{828VA}^2 – {278Var}^2}=780W}$

Moc pozorna
$\rm{{S}=\sqrt{{P}^2 + {Q}^2}=\sqrt{{780W}^2 + {278Var}^2}=828VA}$

Podsumowanie

Trochę się nazbierało informacji. Mam nadzieję, że nie jesteś nimi przytłoczony i wszystko gładko przyswoiłeś. Jeśli jest inaczej, polecam przespać się z tą myślą i następnego dnia utrwalić sobie wiedzę. A jeśli to nie pomoże, to napisz w komentarzu, że skopałem. Będę wdzięczny 😀

Z drugiej strony, jeśli wyniosłeś coś pozytywnego z tego artykułu, proszę o wszelkie przejawy aktywności w portalach społecznościowych.

Aha, jeśli jesteś ciekawy jak działają silniki elektryczne to na początek polecam ten film.